Οι εφεξής γωνίες αποτελούν μία από τις βασικότερες σχέσεις μεταξύ γωνιών στη Γεωμετρία, καθώς ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο γωνίες μπορούν να “γειτονεύουν” στο επίπεδο και να συνδυάζονται για να σχηματίσουν μεγαλύτερα γεωμετρικά σχήματα.
1 Θεωρία: Εφεξής και Διαδοχικές Γωνίες
1.0.1 1. Ορισμός Εφεξής Γωνιών
Δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής όταν έχουν:
1. Την ίδια κορυφή.
2. Μία κοινή πλευρά.
3. Κανένα άλλο κοινό σημείο, δηλαδή οι μη κοινές πλευρές τους βρίσκονται εκατέρωθεν της κοινής πλευράς.
Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι οι δύο γωνίες βρίσκονται η μία δίπλα στην άλλη χωρίς να επικαλύπτονται (δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία).
1.0.2 2. Διαδοχικές Γωνίες
Όταν έχουμε τρεις ή περισσότερες γωνίες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και η καθεμία είναι εφεξής με την προηγούμενη ή την επόμενή της, τότε αυτές ονομάζονται διαδοχικές γωνίες.
1.0.3 3. Πράξεις και Σχέσεις
- Άθροισμα: Το άθροισμα δύο εφεξής γωνιών είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις δύο μη κοινές πλευρές τους.
Αλλάξτε τις τιμές των γωνιών α και β αλλάζοντας την θέση των δρομέων α και β
- Συμπληρωματικές: Αν δύο εφεξής γωνίες έχουν άθροισμα \(90^\circ\) (ορθή γωνία), ονομάζονται συμπληρωματικές.
Αλλάξτε την θέση του σημείου Δ
- Παραπληρωματικές: Αν δύο εφεξής γωνίες έχουν άθροισμα \(180^\circ\) (ευθεία γωνία), ονομάζονται παραπληρωματικές. Στην περίπτωση αυτή, οι μη κοινές πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες.
- Διχοτόμοι: Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους, σχηματίζοντας γωνία \(90^\circ\). Επίσης, οι διχοτόμοι δύο οποιωνδήποτε εφεξής γωνιών σχηματίζουν γωνία ίση με το ημιάθροισμα των γωνιών αυτών. ( κάντε το σαν εργασία)
1.1 Ασκήσεις και Εφαρμογές
Άσκηση 1 (Αναγνώριση): Σε ποιο από τα παρακάτω σχήματα οι γωνίες είναι εφεξής;
* α) Δύο γωνίες με κοινή κορυφή αλλά η μία πλευρά της μίας βρίσκεται μέσα στην άλλη.
* β) Δύο γωνίες με κοινή κορυφή, κοινή πλευρά και τις μη κοινές πλευρές εκατέρωθεν της κοινής.
* γ) Δύο γωνίες με κοινή πλευρά αλλά διαφορετικές κορυφές.
* Λύση: Μόνο η περίπτωση (β) πληροί όλες τις προϋποθέσεις του ορισμού.
Άσκηση 2 (Υπολογισμός): Δύο γωνίες \(\hat{\omega}\) και \(\hat{\phi}\) είναι εφεξής και παραπληρωματικές. Αν η γωνία \(\hat{\phi}\) είναι διπλάσια της \(\hat{\omega}\), να βρείτε το μέτρο τους.
* Λύση: Ισχύει \(\hat{\omega} + \hat{\phi} = 180^\circ\) και \(\hat{\phi} = 2\hat{\omega}\). Αντικαθιστώντας, έχουμε \(3\hat{\omega} = 180^\circ \Rightarrow \hat{\omega} = 60^\circ\) και \(\hat{\phi} = 120^\circ\).
Άσκηση 3 (Σωστό/Λάθος): 1. Δύο εφεξής γωνίες μπορεί να είναι και κατακορυφήν. (Λάθος, οι κατακορυφήν έχουν τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες και δεν είναι εφεξής).
2. Αν δύο εφεξής γωνίες είναι ίσες, είναι οπωσδήποτε παραπληρωματικές. (Λάθος, μπορούν να είναι οποιουδήποτε μέτρου, π.χ. \(30^\circ\) η καθεμία).
3. Το άθροισμα δύο εφεξής γωνιών είναι πάντα \(180^\circ\). (Λάθος, μόνο αν είναι παραπληρωματικές).
Άσκηση 4 (Θεωρητική Εφαρμογή): Έχουμε δύο εφεξής γωνίες \(x\hat{O}y\) και \(y\hat{O}z\). Αν η γωνία \(x\hat{O}z\) είναι \(80^\circ\) και η \(x\hat{O}y\) είναι \(35^\circ\), πόσες μοίρες είναι η \(y\hat{O}z\);
* Λύση: Εφόσον οι γωνίες είναι εφεξής, το άθροισμά τους ισούται με την ολική γωνία: \(x\hat{O}y + y\hat{O}z = x\hat{O}z \Rightarrow 35^\circ + y\hat{O}z = 80^\circ \Rightarrow y\hat{O}z = 45^\circ\).
Άσκηση 5 (Διαδοχικές Γωνίες): Σχεδιάστε τρεις διαδοχικές γωνίες \(x\hat{O}y, y\hat{O}z\) και \(z\hat{O}t\) έτσι ώστε \(x\hat{O}z = y\hat{O}t\). Δικαιολογήστε γιατί \(x\hat{O}y = z\hat{O}t\).
* Λύση: Από την ισότητα \(x\hat{O}z = y\hat{O}t\) αφαιρούμε την κοινή γωνία \(y\hat{O}z\). Έτσι, \(x\hat{O}z - y\hat{O}z = y\hat{O}t - y\hat{O}z\), άρα \(x\hat{O}y = z\hat{O}t\).
Οι κατακορυφήν γωνίες αποτελούν μια βασική σχέση γωνιών στη Γεωμετρία, η οποία προκύπτει από την τομή δύο ευθειών. Ακολουθεί η θεωρία και ενδεικτικές ασκήσεις.
2 Θεωρία: Κατακορυφήν Γωνίες
2.0.1 1. Ορισμός
Δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν όταν έχουν:
* Κοινή κορυφή.
* Οι πλευρές της μίας είναι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης.
Πρακτικά, σχηματίζονται όταν δύο ευθείες τέμνονται. Στο σημείο τομής δημιουργούνται δύο ζεύγη κατακορυφήν γωνιών.
Αλλάξτε την τιμή των γωνιών στο παρακάτω σχήμα, αλλάζοντας την θέση των σημείων
2.0.2 2. Βασική Ιδιότητα
Το βασικό θεώρημα για αυτές τις γωνίες ορίζει ότι: Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι πάντα ίσες μεταξύ τους.
- Αιτιολόγηση: Οι δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες επειδή είναι και οι δύο παραπληρωματικές της ίδιας γωνίας (δηλαδή, μαζί με την ίδια μεσολαβούσα γωνία σχηματίζουν άθροισμα 180°).
2.0.3 3. Δευτερεύουσες Ιδιότητες
- Διχοτόμοι: Η προέκταση της διχοτόμου μιας γωνίας είναι η διχοτόμος της κατακορυφήν της.
- Σχέση με Εφεξής: Δύο γωνίες που είναι κατακορυφήν δεν μπορούν να είναι εφεξής, καθώς οι πλευρές τους είναι αντικείμενες και όχι κοινές.
2.1 Ασκήσεις και Εφαρμογές
Άσκηση 1 (Υπολογισμός σε Τομή Ευθειών): Δύο ευθείες \(x'x\) και \(y'y\) τέμνονται στο σημείο Ο. Αν η μία από τις τέσσερις γωνίες που σχηματίζονται είναι \(33^\circ\), να βρείτε τις υπόλοιπες τρεις γωνίες.
* Λύση: 1. Η γωνία που είναι κατακορυφήν με την \(33^\circ\) θα είναι επίσης \(33^\circ\) (λόγω ισότητας).
2. Η γωνία που είναι εφεξής και παραπληρωματική με την \(33^\circ\) θα είναι \(180^\circ - 33^\circ = \mathbf{147^\circ}\).
3. Η τέταρτη γωνία, ως κατακορυφήν της παραπάνω, θα είναι επίσης \(147^\circ\).
Άσκηση 2 (Συμπλήρωση Κενών):
1. Δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν αν έχουν την κορυφή τους …………… και τις πλευρές τους …………….
2. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι …………….
* (Λύσεις: 1. κοινή, αντικείμενες ημιευθείες, 2. ίσες).
Άσκηση 3 (Σωστό/Λάθος):
1. Οι κατακορυφήν γωνίες έχουν άθροισμα πάντα \(180^\circ\). (Λάθος, είναι ίσες, αλλά το άθροισμά τους εξαρτάται από το μέτρο τους).
2. Οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες. (Σωστό).
3. Δύο εφεξής γωνίες μπορεί να είναι και κατακορυφήν. (Λάθος).
4. Η προέκταση της διχοτόμου μιας γωνίας διχοτομεί την κατακορυφήν της. (Σωστό).
Άσκηση 4 (Σύνθετη Εφαρμογή): Έστω δύο ευθείες που τέμνονται και σχηματίζουν μια γωνία \(\alpha\) και μια γωνία \(\beta\). Αν οι γωνίες \(\alpha\) και \(\beta\) είναι κατακορυφήν και το άθροισμά τους είναι \(110^\circ\), πόσες μοίρες είναι η καθεμία και πόσες μοίρες είναι οι άλλες δύο γωνίες της τομής;
* Λύση: Εφόσον είναι κατακορυφήν, ισχύει \(\alpha = \beta\). Άρα \(2\alpha = 110^\circ \Rightarrow \alpha = \beta = \mathbf{55^\circ}\). Οι άλλες δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές της \(\alpha\), άρα \(180^\circ - 55^\circ = \mathbf{125^\circ}\) η καθεμία.
Άσκηση 5 (Κατασκευή): Σχεδιάστε μια οξεία γωνία \(37^\circ\). Στη συνέχεια, σχεδιάστε την κατακορυφήν της χρησιμοποιώντας μόνο τον χάρακα (προεκτείνοντας τις πλευρές της) και επιβεβαιώστε με το μοιρογνωμόνιο ότι είναι επίσης \(37^\circ\).
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !